البيانات الاسمية وكاي تربيع:
أكثر اختبار
للبيانات الاسمية شيوعا إلى حد بعيد هو كاي تربيع,والبيانات الاسمية مهمة هنا على أساس
أنها الوحيدة التي تعطي معلومات يمكن أخذها بعين الاعتبار فيما يتعلق بتكرار
حدوثها ضمن الفئات. ومن المقياس الاسمي نحصل على بيانات عددية.
ويمكن أن
تخبرنا البيانات الاسمية كم هي عدد الحالات التي تحدث للسمة. ولا نحصل منها على
كمية السمة المعطاة ويملكها أي فرد. يمكن أن يبنى المقياس الاسمي من خلال الانتساب
لحزب سياسي مثلا بحيث يتم تصنيف الأفراد حسب انتماءاتهم الحزبية (ديمقراطيون,
جمهوريون, مستقلون, وهكذا) ولا يمكننا وصف قوة الانتماءات الحزبية للأفراد من
المقياس الاسمي ولكننا يمكن أن نعرف معلومات حول عدد المنتسبين.
في البيانات
الاسمية لا يوجد ظلال رمادية( أي شئ وسط) بمعنى ملاحظة السمة إما أن تكون موجودة أم
لا.
باختصار البيانات
الاسمية تبنى بالترتيب والعد وترتيب البيانات إلى بيانات منفصلة في فئات خاصة ومن
ثم عد تكرارات حدوثها ضمن كل فئة. يسمى التحليل الإحصائي للبيانات الاسمية أحيانا
تحليل البيانات الفئوي (Agresti, 1990).
كاي تربيع والعينات المستقلة:
عندما نضع
المقياس الاسمي للمقياس يجب أن تكون الفئات مستقلة تماما عن بعضها . حيث أن الفرد
الذي يتم عده في فئة (ديمقراطي) لا يعد ضمن الفئة الثانية ( جمهوري). كل الحالات
التي تعطي في صنف أو فئة واحدة يجب أن يشتركوا في نفس السمة(مثلا ذكور, حاضرين)
ولا يتشاركوا في أي حال من الأحوال في نفس السمة لصنف آخر. بمعنى آخر كل الملاحظات
في الصنف الواحد متساوية ومتشابهة ولا تتساوى ولا تتشابه بالملاحظات في أي صنف آخر.
كاي تربيع ( حسن المطابقة): K chi square×The 1
افترض أن باحث
في السوق وأراد أن يجد المحطة الأكثر شيوعا من غيرها بين المراهقين وبالتالي حددت
عينة عشوائية من (100) مراهق وصنفوا على أساس تفضيلهم لمحطة الراديو والبيانات
كانت كالتالي ( المحطة A
= 40, المحطة B= 30 ,
المحطة C= 20 ,
والمحطة D =10)
البيانات : 40,30,20,10, أخذت من التكرار الملاحظ أو ( Fo) التي يمكن أن تقارن بالتكرارات المتوقعة ( Fe) ويمكن أن يحسب التكرار المتوقع على أساس الاحتمال النظري أو على أساس
بعض الفرضيات المسبقة( الفرضية المسبقة هي إما أن تكون معروفة أو مفترضة أن تكون
صحيحة) أو لأنها من نتائج أبحاث سابقة أو أكثر عمومية لأنها متسقة ومتوافقة مع بعض
النظريات العلمية. ومن ثم نقارن البيانات الملاحظة بمجموعة البيانات المتوقعة
لتحديد كيف تطابق بالملاحظات المتوقعة بشكل جيد.
التكرار
المتوقع المناسب للاحتمال: أولا نأخذ بعين الاعتبار تأثير الاحتمال, لو أن (100)
مراهق حددوا ورتبوا في أربعة تصنيفات ولو أن هناك احتمال وحيد يحدد الترتيب بحيث
يكون تكرارها من ( 25) فرد لكل صنف.
التكرارات
المتوقعة المناسبة للاحتمال هي مجموع الأرقام في عينتنا (N) تقسم على عدد الفئات (K):
chance Fe =N
/ K
لحساب كاي
تربيع نحصل على قيمة كاي تربيع من المعادلة التالية:
X =
لتوضيح طريقة
حساب كاي تربيع بهذه المعادلة يمكن أن نستخدم بيانات حول تفضيل المراهقين لأحد
المحطات الراديو .
نبني جدول من
أربعة أعمدة ( واحد لكل فئة) وهو أفضل محطة وخمس صفوف ( انظر الجدول (1):
Station D
|
Station C
|
Station B
|
Station A
|
||
10
|
20
|
30
|
40
|
Fo
|
|
25
|
25
|
25 | 25
|
Fe
|
|
-15
|
-5
|
5
|
15
|
Fo-Fe
|
|
225
|
25
|
25
|
225
|
(Fo-Fe)
|
|
9
|
1
|
1
|
9
|
(Fo-Fe)/ Fe
|
ونملا هذا
الجدول بالخطوات التالية:
1-
في الصف الأول Fo : نضع البيانات الملاحظة حول أفضلية محطة الراديو كما في الجدول أعلاه.
2-
قيمنا المحسوبة للتكرارات المتوقعة (Fe) توضع في كل فئة في الصف
الثاني لاستطلاع محطة الراديو وهذه القيمة 25.
3-
الصف الثالث من الجدول يمثل الفرق بين
التكرارات الملاحظة والتكرارات المتوقعة في كل فئة وهي ( Fo-Fe) ونطرح في كل عمود من الجدول (1) ونحصل على النتائج (5,15.-5,-15)
كما في الجدول.
4-
نربع كل الفروق ونضع هذه القيم في الصف
الرابع وهي:( 225,25,25,225) .
5-
في الصف الخامس تقسم كل الفروق
المربعة على قيمة Fe
لكل فئة في الجدول ونواتج هذه الخطوة ( 9,1,1,9) .
6-
جمع القيم بشكل عرضي في الصف الخامس
ويعطينا مجموع النتائج لكاي تربيع وقيمته لاستطلاع محطة الراديو هو 20.
تفسير قيمة كاي تربيع :تخبرنا قيمة كاي تربيع على أي حال إن التكرارات
الملاحظة تختلف بشكل دال عن التكرارات المتوقعة . تقول الفرضية الصفرية طبعا انه
ليس هناك فرق : Ho:Fo = Fe
وتقول الفرضية البديلة أن هناك فرق: Ha : Fo = Fe
لعمل قرار إحصائي نقارن القيمة التي حصلنا عليها ( المحسوبة) مع القيمة
الحرجة الجدولية لقيم كاي تربيع مع درجات الحرية في العمود البعيد في اليسار
والقيم الحرجة لكاي تربيع عند مستوى 0.05 و 0.01 في العمودين التاليين .
لاحظ في هذا الجدول درجات الحرية تزيد قيم كاي تربيع الحرجة أيضا . ولا
يشبه جداول ( r , t) , إذ أن
درجات الحرية زادت بحيث تصبح اكبر بدلا من أن تقل فهناك صعوبة لرفض الفرضية
الصفرية . درجات الحرية لكاي تربيع ( K × 1) تعتمد على k-1 (عدد الفئات
ناقص واحد) ,لاحظ أن درجات الحرية لكاي تربيع لا تعتمد على حجم العينة .
درجات الحرية لكاي تربيع ( K × 1)
كاي تربيع ( K × 1 )
وجدت درجات الحرية على أساس كم عدد الخلايا المدخلة وليس عدد التوابع( الأشخاص)
وهي تتغير بحرية بعد مجموع Fo
أو (N)
المفحوصة.
D
|
C
|
B
|
A
|
||
Fo = N = 100
|
؟
|
40
|
20
|
30
|
Fo
|
يجب أن يحتوي العمود الرابع على 10 أشخاص . القيمة المسموح بها في الفئة
الرابعة هي على أي حال لا توجد حرية في تغييرها, بالفئات الأربعة فقط ثلاثة قيم
ممكن أن تتغير بحرية. وتعطينا ( K-1)
أو ( 4-1= 3) درجات الحرية.
وهذا يبقى صحيحا سواء N
تساوي 100,1000 أو أي كانت العينة.
كاي تربيع تشبه كلا من ( r , t)
إذا كانت القيم التي حصلنا عليها تساوي أو اكبر من القيمة الجدولية نرفض الفرضية
الصفرية لاستطلاع محطة الراديو لدرجات حرية (3) (انظر القيمة الجدولية) نجدها
تساوي 11.34 على مستوى 0.01.
عندما تكون القيمة المحسوبة واضحة أنها اكبر من القيمة الجدولية نرفض
الفرضية الصفرية ونستنتج أن المحطة A
في الحقيقة هي أكثر شيوعا بين مجتمع المراهقين من العينة الني اختيرت.
التكرار الملاحظ يختلف بشكل دال عن التكرار المتوقع بواسطة الاحتمال ( chance). في هذه الحالة قيمة كاي
تربيع اكبر بشكل كاف حيث احتمالية الخطأ في النوع الأول اقل من 0.01 ( 1 %).
الاستنتاجات: ( k ×
1 ) لحسن المطابقة : حسبت كاي
تربيع بمقارنة تكرار الحدوث في عينة لمشاهدي TV ضمن أربعة فئات لمحطات الراديو .
وجد فرق ذو دلالة بين القيم الملاحظة والقيم المتوقعة :(chi square ) (3) = 20.000 ,
p< 0.01
التكرار المتوقع المناسب للفرضية المسبقة: أحيانا النظرية المحددة أو ربما البحث الحالي يستخدم لبناء قيم
التكرارات المتوقعة لحدوث السمة المدروسة.
مثال: يعرف اختصاصيو الوراثة أن الجينات تسيطر على لون العيون والعيون
البنية سائدة على العيون الزرقاء . هذا يعني أن الآباء ذوي العيون الزرقاء لديهم
أطفال عيونهم زرقاء فقط وأيضا يعني أن الأب ذو العيون البنية ويحمل جين العيون
البنية لديه أطفال عيونهم بنية حتى ولو كان الأب الثاني يحمل جين العيون الزرقاء ,
ومع ذلك إذا كان احدهما هجين يمكن أن ينجبا ولد عيونه زرقاء . أي أن الاحتمال ( 3 إلى
1) . إذا كان احد الآباء لون عيونه بني والأب الثاني لون عيونه زرقاء حسب نظرية
مندل وبالتالي يمكن أن تستخدم النظرية الجينية هذه (للجينات السائدة والمتنحية ) كفرضيات
سابقة .
لفحص هذه النظريات السابقة قد يحدد الباحث عينة من الآباء ويلاحظ لون عيون أطفالهم
ويمكن مقارنة هذه الملاحظات مع التكرارات النظرية بالتجربة لتقدير كم طابقت ( اختبار
حسن المطابقة) التكرارات الملاحظة مع التكرارات المتوقعة.
مثال: اختيرت عينة من ( 40) زوج .في كل زوج كلا من الآباء ذوي العيون
المهجنة ولوحظ لون العين في كل مولود أول للأزواج وكانت البيانات كالتالي: أطفال
لون عيونهم بني (23) وأطفال لون عيونهم زرقاء ( 17) هذه القيم للتكرارات الملاحظة
قورنت بالتكرار لألوان العين المتوقعة على أساس الفرضية المسبقة وهي نسبة ( 3 إلى
1) إذن من مجموع التكرارات المتوقعة فان (30) طفل عيونهم بني و(10) أطفال عيونهم زرقاء.
والآن لدينا قيم ل ( Fo)
و قيم ( Fe) ونستطيع أن
نكمل جدول كاي تربيع كالتالي:
Blue eyes
|
Brown eyes
|
||
17
|
23
|
Fo
|
|
10
|
30
|
Fe
|
|
7
|
-7
|
Fo -Fe
|
|
49
|
49
|
Fo –Fe
|
|
4.900
|
1.633
|
Fo –Fe / Fe
|
يعرض الجدول ( I) بدرجات حرية ( 1) القيمة الجدولية 3.84 المطلوبة لرفض الفرضية الصفرية
على مستوى دلالة 0.05 عند 6.533 اكبر من 3.84 نستطيع أن نرفض الفرضية الصفرية: ( chi square (1) = 6.533 , p<0.05)
ونحدد استنتاجاتنا كالتالي:
قورنت التكرارات الملاحظة بالفرضية المسبقة ( 3 إلى 1) وجد فرق ذو دلالة
بين القيم الملاحظة والقيم المتوقعة : ( chi square (1) = 6.533 , p<0.05)
هل النتائج في هذا المثال تدحض النظرية الجينية ؟ بالتأكيد لم تؤكد ذلك و لم
تفندها .
حددت فئات الأشخاص على أساس السمة والتي كانت مضبوطة (مسيطر عليها).
ممكن أن تكون النظرية خطا أو ربما الناس لم يعرفوا إباؤهم الحقيقيون.
ال (
K × r )
كاي تربيع:
كاي تربيع الذي عرض حتى
الآن والمسمى ( K × 1
) كاي تربيع يعني أنه حددت مجموعة العينة الواحدة للأشخاص لأي عدد ( K)
للفئات . على أي حال أراد الباحث أحيانا أن يحدد أكثر من مجموعة واحدة.كمثال
المجموعات الضابطة والتجريبية ومن ثم نقارن هذه المجموعات مع ما يتعلق بها من بعض
التكرارات الملاحظة لذا استخدمت
( k × r )
كاي تربيع.
أولا: التكرارات
المتوقعة على أساس الاحتمال لا نستطيع حسابها بنفس الطريقة.
ثانيا : درجات الحرية
تحدد بأسلوب مختلف بعض الشيء . يهتم الباحث في اكتشاف أن الفيتامين ج يساعد في منع
الأنفلونزا . فنختار مجموعتين عشوائيتين مع ( 30) شخص في كل مجموعة . مجموعة ( A)
تعطى 250 مغ من هذا الفيتامين ج يوميا فترة 3 أشهر بينما مجموعة ( B )
تعطى علاج مموه ( أي غير فيتامين ج), في المجموعة( A)
,10 أشخاص أصيبوا بالأنفلونزا أثناء هذا الوقت
وفي المجموعة ( B) , 15 شخص أصيبوا بالأنفلونزا .
جدول التوافق : البيانات التي وضعت باسم جدول
التوافق والمعروضة في الجدول (2) , الخلايا في جدول التوافق وضعت لها حروف a,b,c,d,
وتمثل فئات وحيدة ومحددة.
Had
influenza did not
have influenza
b
20
|
a
10
|
d
15
|
c
15
|
مثال: تحتوي الخلية (
A) فقط على الأشخاص الذين ممكن أنهم اخذوا فيتامين ج وأيضا أصيبوا بالأنفلونزا
والخلية (B) تحتوي فقط على الأشخاص الذين اخذوا فيتامين ج ولم يصابوا بالأنفلونزا
وهكذا.
لاحظ أن جدول التوافق
الخاص فيه صفين وعمودين ويسمى جدول التوافق ( 2×2 ) , وأيضا لاحظ أن مجموعتين حددت
في الصفوف بينما الفئات التي فيها الأشخاص المقاس عليهم السمة على رأس الأعمدة ( أصيبوا
بالأنفلونزا , ولم يصابوا)
بطريقة أخرى لتذكر
المتغيرات المستقلة ( سواء أخذت الفيتامين أم لا) توضع في الصفوف والمتغيرات
التابعة ( سواء أصيبوا أم لم يصابوا بالأنفلونزا) في الأعمدة.
Group A
Vitamin c
|
حساب قيمة كاي تربيع
: كما فعلنا في ( K × 1 ) نضع في الجدول هنا كل عمود على رأسه خلية خاصة
وكما ملانا في هذا الجدول يجب أن نحفظ جدول التوافق ( جدول ب2) بشكل واضح في صورته
لان بعض القيم تؤخذ منه .
نحصل على قيمة ال ( K
× 1 ) كاي تربيع بالخطوات التالية انظر
الجدول (3 ), وقد أخذت بيانات من الجدول 2 :
d
|
c
|
b
|
a
|
||
15
|
15
|
20
|
10
|
Fo
|
|
17.500
|
12.500
|
17.500
|
12.500
|
Fe
|
|
-2.500
|
2.500
|
2.500
|
-2.500
|
Fo - Fe
|
|
6.250
|
6.250
|
6.250
|
6.250
|
(Fo – Fe )
|
|
0.357
|
0.500
|
0.357
|
0.500
|
(Fo – Fe ) /Fe
|
1- نأخذ القيم ل Fo
مباشرة من جدول التوافق ونضعهم في الصف الأول 10 للخلية A
و 20 للخلية B
وهكذا.
2- لملا الصف الثاني
نحسب القيم Fe لكل الخلايا من جدول
التوافق , للخلية المعطاة Fe تساوي ناتج مجموع أعمدته مع مجموعة صفوفه
مقسوم على N مجموع عدد الحالات .
الخلية A توجد في العمود الذي مجموعه 25 وفي الصف الذي مجموعه هو 30. إذن Fe
للخلية تساوي (25×30) ÷ 60 = 12.500 , بنفس المعادلة نحصل على قيم Fe ل d, c , b وهي : 17.500,12.500,17.500, على التوالي.
3- في الصف الثالث نضع الفرق بين Fo و Fe للخلية a هذه القيمة هي -2.500, من 10 -12.500 ,
وهكذا.
4- نربع القيم في الصف
الثالث ونضع الفروق المربعة في الصف الرابع وهو 6.250 لكل الخلايا .
5- نقسم الفروق المربعة
على Fe لتلك الخلية ونضع القيم
الناتجة في الصف الخامس : 0.500, 0.357, 0.500, و 0.357
6- نضيف بشكل عرضي كل
القيم في الصف الخامس للحصول على قيمة لكاي تربيع هي : 1.714.
تفسير قيمة كاي تربيع : درجات الحرية ل ( K × r ) كاي تربيع أوجدت بالمعادلة التالية : df = ( r – 1 ) ( k – 1 )
اخذ عدد من الصفوف والأعمدة
من جدول التوافق بالتالي في دراسة فيتامين ج لدينا صفين ( اخذوا فيتامين ج مقابل
لم يأخذوا فيتامين ج ) , وعمودان ( أصيبوا بالأنفلونزا مقابل لم يصابوا بالأنفلونزا
) . درجات الحرية إذن تساوي (2-1) ( 2-1) = 1
ثم كاي تربيع ( 0.05) (1) = 3.84
كاي تربيع = 1.714
تقبل الفرضية الصفرية: ليست ذو دلالة
لتثبت ما حصلنا عليه من قيم كاي تربيع ل
1.714 مقابل القيمة الحرجة ل 3.84 تحت مستوى دلالة (0.05) يظهر أن القرار الإحصائي
يجب أن تكون قبول الفرضية الصفرية. ليس هناك فرق ذو دلالة بين المجموعتين بما
يتعلق بتكرار إصابتهم للأنفلونزا . حيث أن هذه كانت الطريقة التجريبية بين الأشخاص.
ونستنتج أن المتغير المستقل ( فيتامين ج) لم يؤثر على المتغير التابع ( الأنفلونزا
) ونريد أن نكتب استنتاجاتنا كالتالي :
حسبت قيمة كاي تربيع (2×2) بمقارنة تكرار
الإصابة بالأنفلونزا بين المجموعات الذي تعاطت الفيتامين أو العلاج المموه. وجد أن
الفرق ليس ذو دلالة (chi square (1) =
1.714, p>0.05,ns).
درجات الحرية و ال ( k
× r ) كاي تربيع :
توزع درجات الحرية لكاي تربيع ( k ×r ) على أساس كم الخلايا المدخلة والتي لها حرية في
التغيير وعندما تثبت المجاميع الهامشية . مثال : كاي تربيع (2×2) مع المجاميع الهامشية ل ( 30, 70, 60,
40, ) توضع كالتالي:
b
?
|
a
10
|
d
?
|
c
?
|
ِعندما تدخل
القيمة في الخلية وفي هذه الحالة 10 فان كل الخلايا المدخلة تكون ثابتة , فالخلية b يمكن أن تكون قيمتها 40-10= 30 , بنفس الطريقة
الخلية c يجب أن تحتوي على 20 ,
والخلية d على 40
وهكذا , في كاي تربيع (2×2) قيمة واحدة لكل خلية واحدة وهناك حيرة في تغييرها
فينتج طبعا درجة حرية واحدة.
تصاميم مختلفة لكاي تربيع :
عرض كاي تربيع
( k × r ) فقط لان جدول التوافق يحتوي على صفين و
عمودين فهو يسمى (2×2) كاي تربيع , هذا التصميم الشعبي لكاي تربيع , على أي حال
هناك العديد من المتغيرات الأخرى المحتملة .
مثال: أراد
الباحث في دراسة فيتامين ج مقارنة ثلاث مجموعات من العينات بما يتعلق بالأنفلونزا
و جدول التوافق يمكن أن يظهر كالتالي:
b
|
a
|
d
|
c
|
f
|
e
|
هذا يسمى كاي تربيع ( 3×2) بدرجات حرية تساوي
(3-1)(2-1)= 2
وقد أراد
الباحث عمل تمييز أدق على المتغيرات التابعة بوضع كاي تربيع ( 3×3) كما هو معروف
في جدول (5 ) :في هذه الحالة درجات الحرية = (3-1) (3-1) = 4
c
|
b
|
a
|
f
|
e
|
d
|
i
|
h
|
g
|
اختبار درجات الحرية
المحسوبة:
للتأكد من حساب
درجات الحرية لكاي تربيع بطريقة صحيحة يمكن أن يقوم الباحث بفحص يدوي بسيط يستخدم
جدول التوافق بمجرد أن نشطب صف واحد وعمود واحد من جدول التوافق ومن ثم عد الخلايا
المتبقية , جدول التوافق لكاي تربيع (3×3) أنتج قيمة4 بواسطة هذه العملية كما يلي:
c
|
b
|
a
|
f
|
e
|
d
|
i
|
h
|
g
|
جدول التوافق لكاي تربيع ( 2×2) استخدم نفس الأسلوب
لإنتاج قيمة 1 لدرجات الحرية:
b
|
a
|
d
|
c
|
تصحيح ياتس ( Yates) لكاي تربيع ( 2× 2) :
عندما تكون التكرارات المتوقعة ضمن الخلية
المعطاة صغيرة اقل من 10 يصبح قيم كاي تربيع ( 2 ×2 ) كبيرة بعض الشيء , حيث أن
قيم كاي تربيع عالية تجعله أسهل لرفض الفرضية الصفرية وأي زيادة اصطناعية في كاي
تربيع يمكن أن تزيد قيمة خطا ألفا .
لمنع هذا , طورت صيغة التصحيح بان تخفض
قيمة كاي تربيع بعض الشيء .
هناك نقاش كبير فيما يتعلق بقيم تصحيح ياتس Conover,1974,Camilli&Hopkins,1979,Overall,1980) )
احد الأدلة يستند على حقيقة وهي كاي
تربيع غير المصححة قد تعطي أفضل تقارب للاحتمالات الصحيحة من القيمة المنتجة من
تصحيح ياتس.
b
10
|
a
7
|
d
8
|
c
15
|
مثال: افترض أن أشخاص دخلهم عال ولهم
ميل لمراقبة أخبار الساعة مساء أكثر من أخبار السادسة مساء فحددت عينة عشوائية من
40 شخصا وفصل الأشخاص على أساس كسبهم 60000 دولار في السنة , 23 دخلهم كان اقل و
17 كان دخلهم اكبر , الأشخاص ذوي الدخل العالي وعددهم 7 يشير إلى أنهم راقبوا
أخبار السادسة مساء و 10 راقبوا أخبار الحادية عشرة , الأشخاص ذوي الدخل المنخفض
15 راقبوا أخبار السادسة مساء و8 راقبوا أخبار الحادية عشرة و نضع جدول احتمال
(2×2) كالآتي:
ثم نحسب قيمة كاي تربيع باستخدام الجدول
الشكلي السابق . القيم الحرجة ل Fe تؤدي إلى تصحيح ياتس . يشترط تصحيح ياتس طرح
قيمة 0.50 من القيمة المطلقة لكل فرق بين Fo و Fe
وهكذا عند تطبيق تصحيح ياتس تنقص(تخفض) كل قيم الفروق المطلقة هذه .
a b c d
|
|||||
X = 1.415
|
8
|
15
|
10
|
7
|
Fo
|
10.35
|
12.65
|
7.65
|
9.35
|
Fe
|
|
-2.35
|
2.35
|
2.35
|
-2.35
|
Fo - Fe
|
|
1.85
|
1.85
|
1.85
|
1.85
|
Yates corre -0.50
|
|
3.423
|
3.423
|
3.423
|
3.423
|
(Fo – Fe)
|
|
0.331
|
0.271
|
0.447
|
0.366
|
(Fo – Fe) / Fe
|
|
تقارن القيم التي حصلنا عليها لكاي
تربيع (1.415) بالقيم الحرجة الجدولية عند مستوى الدلالة 0.05 ويساوي ( 3.84 )
وبما أن القيمة المحسوبة لا تتطابق بالقيمة الجدولية نقبل الفرضية الصفرية . أي
مجموعتي الدخل ليس بينهما فرق بشكل دال فيما يتعلق بمشاهدة التلفاز.
الاستنتاجات: يجب أن تحدد كالتالي:
انه ليس هناك فرق ذو دلالة كاي تربيع (
1) = 1.415 , p > 0.05 , لا دلالة)
chi square (1) = 1.415 , p> 0.05 , ns ) )
هناك نقاط مهمة عند حساب قيمة كاي تربيع
:
1- يجب أن تكون مدخلات
الخلية مستقلة احدهما عن الآخر .
2- المجموع الكلي لقيم Fo
يجب أن تساوي N , مجموع عدد الملاحظات ( Fo = N )
3- يجب أن تكون جميع قيم
Fo أعداد صحيحة.
تحديد مكان الفرق:
تمرين 13-أ يهتم العالم النفسي
الاجتماعي في اختبار ظاهرة الحضور المجرد وهي تأثير شخص آخر على أدائك حتى ولو أن
الشخص الآخر لم يراقبك أو يحكم عليك.
اخفي آلة تصوير سينمائية بجانب ممر مشاه
في الجامعة وصور العالم النفسي ذكور مهرولين تحت ثلاث شروط:
1- تجلس النساء على
العشب بمواجهة المهرولين ( أي تنظر إليهم النساء)
2- تجلس النساء على
العشب وظهورهن بمواجهة المهرولين ( أي لا ينظرن للمهرولين)
3- لا يوجد نساء مطلقا.
صورت عينة مكونة من المهرولين وعددهم 300 في كل فئة 100 تحت كل شرط.
صنف المهرولين كما يلي :
أ-
زادوا سرعتهم
ب-بقوا على نفس السرعة
ت- انقصوا من سرعتهم
c 10
|
b 10
|
a 80
|
f 30
|
e 40
|
d 30
|
i 34
|
h 33
|
g 33
|
a b
c d
e
f g
h
i
|
|||||||||
34
|
33
|
33
|
30
|
40
|
30
|
10
|
10
|
80
|
Fo
|
24.667
|
27.667
|
47.667
|
24.667
|
27.667
|
47.667
|
24.667
|
27.667
|
47.667
|
Fe
|
9.333
|
5.333
|
14.667
|
5.333
|
12.333
|
17.667
|
14.667
|
17.667
|
32.333
|
Fo-Fe
|
87.105
|
28.441
|
215.121
|
28.441
|
152.103
|
312.123
|
215.121
|
312.123
|
1045.423
|
(Fo-Fe)
|
3.531
|
1.028
|
4.513
|
1.153
|
5.498
|
6.548
|
8.721
|
11.281
|
21.932
|
(Fo-Fe)/Fe
|
نحتاج قيمة الجدول للقيمة 13.28 بأربع درجات حرية لرفض الفرضية الصفرية
عند مستوى دلالة 0.01 حصلنا على كاي تربيع للقيمة 64.205 وبشكل واضح يكفي لرفض
الفرضية الصفرية . ونضع الاستنتاجات كالتالي: كاي تربيع ( 3×3) المحسوبة تقارن
بتكرار المهرولين الذكور ممن زادوا سرعتهم والذين حافظوا على سرعتهم أو انقصوا
منها كدالة فيما إذا راقبتهم النساء . وجد
أن المهرولين زادوا سرعتهم عندما راقبتهم النساء ووجد الفرق ذو دلالة: chi square (4) = 64.205 , p < 0.01)
يعني القرار لرفض الفرضية الصفرية أن
التكرارات الملاحظة وجدت بين ثلاث فئات لا تحدث بالاحتمال تحت افتراض أن كل
التكرارات كانت نتيجة الاختيار المستقل من عينة المجتمع. على أساس قيمة كاي تربيع
نقرر انه حدثت دلالة الفروق , ولكن قيمة كاي تربيع نفسها لم يحدد مكانها بشكل
دقيق. لذلك يجب العودة ونفحص جدول التوافق ونستطيع أن نجد إن المصدر الرئيسي لحدوث
الفرق في الصف الأول وهي بين المهرولين المراقبين. في الشرطيين الأخريين التكرارات
تقريبا ثلاثة في كل صنف, لا تظهر فرق من فرضية الاحتمال
نستنتج أن المهرولين الذكور رفعوا من
سرعتهم عندما روقبوا من النساء ولكن ظاهرة الحضور المجرد لشخص آخر يبدوا لا تملك تأثير
الظهور, النتيجة أنها تتحدى فرضية الظهور المجرد.
معادلة خاصة لكاي
تربيع ( 2× 2):
استخدم البيانات من دراسة فيتامين ج في
الجدول (2) نحصل على:
b
20
|
a
10
|
d
15
|
c
15
|
يمكن أن عمل تصحيح ياتس من هذه المعادلة
, نصحح بطرح N/2 من القيمة المطلقة للفرق بين ad
و bc :
باستخدام بيانات دراسة أخبار TV السابقة نحصل على :
b
10
|
a
7
|
d
8
|
c
15
|
كاي تربيع: اختبار
الاستقلال
منذ اختبارات ( k ×
r ) فإذا كانت المتغيرات في جدول التوافق مستقلة فانه يمكن أن
يستخدم لاختبار فرضيات الفرق. لذلك يطبق كاي تربيع لكل البيانات التجريبية والتي
تهدف دائما إلى فرضيات الفرق و بيانات post-facto والتي أحيانا تختبر للفرق.
كاي تربيع والنسب
المئوية :
إذا حسبت كاي تربيع على أساس النسب
المئوية فانه يجب أن تصحح لتعكس حجم العينة. تؤخذ النسب المتشابهة من حجم العينات المختلفة
وتنتج قيم كاي تربيع مختلفة
جدا : العينة الأكبر, كاي تربيع الأكبر . لعمل هذا التصحيح يجب اخذ النسب على أساس
كاي تربيع وتضاعفها على ن/100 حيث ن تساوي حجم العينة ( كاي تربيع أساسه النسب
المئوية طبعا ربما له مدخلات خلية والتي هي ليست أعداد صحيحة ).
للمثال: افترض أن كاي تربيع ( k × 1 ) حسبت على أساس
النسب التالية :
X= 20
|
a b c d
|
||||
40%
|
30%
|
20%
|
10%
|
Fo
|
|
25
|
25
|
25
|
25
|
Fe
|
|
15
|
5
|
-5
|
-15
|
Fo - Fe
|
|
225
|
25
|
25
|
225
|
(Fo – Fe )
|
|
1
|
1
|
1
|
9
|
(Fo – Fe ) / Fe
|
|
هذه القيمة يجب أن تصحح لحجم العينة قبل فحص دلالتها.
لو حجم العينة كان 200 فان:
أو إذا كان حجم العينة 1000 فان:
b
45%
|
a
5%
|
d
35%
|
c
15%
|
نفس الإجراء يستخدم على كاي تربيع ( k × r ) .
افترض أن كاي تربيع (2×2) حسب
بالنسب التالية:
a b c d
|
|||||
X = 6.25
|
35
|
15
|
45
|
5
|
Fo
|
40
|
10
|
40
|
10
|
Fe
|
|
-5
|
5
|
5
|
-5
|
Fo-Fe
|
|
25
|
25
|
25
|
25
|
Fo-Fe
|
|
0.625
|
2.50
|
0.625
|
2.50
|
(Fo-Fe)/Fe
|
|
إذا
كانت ن = 2000 فان
إذا
كان حجم العينة 200 فان:
كل
من هذه القيم تدل بشكل واضح على رفض الفرضية الصفرية عند كاي تربيع عند مستوى
دلالة 0.05 ودرجة حرية (1) تساوي 3.84 ولكن لو حصلنا على نفس النسب المئوية عندما
كانت ن = 60 ( ما تزال عينة كبيرة) فان:
والتي
طبعا يجب أن تؤدي إلى قبول الفرضية الصفرية .
بهذا
الاختبار على الرغم من أن حجم العينة لا يدخل ضمن مكان درجات الحرية فهو ضروري جدا
في تحديد قيمة كاي تربيع الحقيقية.
كاي
تربيع والدرجات الزائية:
اختبار
كاي تربيع هو ابتكار آخر ل ( كارل بيرسون) لاحظ أن قيم كاي تربيع هي قيم ذو دلالة
لدرجة حرية واحد على أساس المربعات للتوزيع الزائي . على مستوى0.05 ذو دلالة ,
قيمة كاي تربيع للقيمة 3.84 تساوي 1.96 المربعة .زائد أو ناقص 1.96 تكون الدرجة
الزائية والتي تتضمن إلى حد أقصى 5 % من المنحنى الطبيعي . وهكذا على مستوى 0.01 ,
قيمة كاي تربيع للقيمة 6.66 تساوي مربع 2.58 وأيضا الدرجة الزائية لزائد أو ناقص
2.58 تتضمن إلى حد أقصى 1%.
كاي
تربيع والعينات التابعة:
اختبار
كاي تربيع له بعض المتطلبات : انه موثوق به ومتعدد الجوانب إلى ابعد حد, وعلى أي
حال كاي تربيع لا يتطلب مدخلات مستقلة للخلية . يمكن أن يكون هناك استثناء لهذا
المتطلب الأساسي. يبدو أن هذا قد يكون عجزا لكاي تربيع وبالتالي لا يكون متعدد
الجوانب بعد كل ذلك.
مثال:
كيف يمكن تحليل البيانات الاسمية حينما ترتبط مجموعات العينة كالمجموعات التي تقيس
نفس مجموعة الأشخاص لمرتين وعندما تربط ( تطابق) مجموعات مختلفة.
افترض
أن الباحث اهتم بتحديد فيما إذا حملة البريد المباشر باعت المنتج المحدد فاختيرت
عينة من 100 شخص سئلوا فيما إذا كان عندهم هذا المنتج فكان 30 لديهم و70 لا. أخضعت
العينة لحملة كبيرة لمدح فضائل هذا المنتج ومن ثم سئل الأشخاص مرة أخرى فكان 20
لديهم هذا المنتج و30 لا. جدول التوافق رباعي الخلايا كالتالي:
b
70
|
a
30
|
d
30
|
c
70
|
في
هذه النقطة يدرك الباحث انه أحيانا يحدث انحراف للنتائج. اجمع كل قيم Fo فيجب ان ينتج العدد الكلي لأشخاص ن=100,
بدلا من ذلك ينتج 200.
ما
الخطأ الذي حصل؟ انتهكت قاعدة الاستقلال الأساسي لكاي تربيع وببساطة ليست هناك
قدرة على اختيار البيانات بهذا الشكل .على أي حال هناك حل لها المأزق ,ضع الفئات
على أساس درجات الاحتمال وهذا بدلا من تصنيف نفس المجموعة من الأشخاص قبل وبعد
,فيما إذا كان لديهم المنتج ويجب أن يصنف الأشخاص على أساس فيما إذا غيروا رأيهم
بالنسبة لعدم اقتناء المنتج إلى اقتناءه بعد ذلك والعكس بالعكس.
درجات
التغيير مستقلة عن بعضها البعض ومجموع القيم ل
Foالآن
تساوي ن, وهي حجم العينة.
اختبار
مكنمار للعينات التابعة:
منشأ
هذا النوع من تحليل كاي تربيع للعينات التابعة هو كونن مكنمار وهذا الإجراء معروف
باسمه ومعادلته:
ويجب أن توضع البيانات في جدول التوافق ( 2 × 2
) كالتالي:
b
|
a
|
d
|
c
|
تحتوي
الخلايا هنا فقط على تلك الأشخاص ممن غيروا من +a إلى – a
أو من قبل الشرط إلى بعد الشرط.
الخلية b تحتوي فقط على ذلك الأشخاص ممن لم يغيروا رأيهم
وبقي + كل من قبل وبعد, والخلية c
تحتوي فقط على الأشخاص ممن لم يغيروا – كل من بعد وقبل. والخلية d
تحتوي فقط على الأشخاص ممن كانوا في الشرط القبلي وغيروا ل + في
البعدي. كما نرى تهتم معادلة التحليل فقط بالخلايا المتغيرة , a
و d
. بمراجعة نتائج دراسة حملة البريد المباشر نجد أن 30 ممن لديهم
المنتج قبل الحملة ,20 ما زال لديهم المنتج بعد الحملة, وترك 5 ممن ليس لديهم .
وهكذا 70 ممن ليس لديهم المنتج قبل الحملة ,50 ليهم المنتج بعد الحملة ,20 تركوا
ممن ليس لديهم المنتج.
b
20
|
a
10
|
d
50
|
c
20
|
افحص
دلالة نتائجنا بالجدول نجد أن القيمة الجدولية لكاي تربيع عند مستوى الدلالة 0.01
بدرجة حرية واحد هي 6.64 وكاي تربيع التي حصلنا عليها هي 26.667 والتي هي أكثر من
كافية لرفض الفرضية الصفرية , يجب أن توضع نتائجنا كالتالي:
يستخدم كاي تربيع (2×2) اختبار مكنمار للعينات التابعة
التي حسبت لمقارنة تكرار الأشخاص الذين يملكون المنتج والذين لا يملكونه كنتيجة
لحملة الدعاية. وجد أن هناك دلالة عند الأشخاص الذين لديهم المنتج بعد الحملة أكثر
من الأشخاص الذين لديهم المنتج قبل الحملة
{ chi square (1) = 26.667 ,p <0.01 }
لذلك الفرق في درجات التغير هو ذو دلالة بين قبل الحملة
وبعدها, المتغير المستقل المعالج ( حملة البريد المباشر) سببت تغيير الرأي في
الحصول على المنتج. الفرضية الصفرية رفضت تحت مستوى ألفا الاحتمالية 0.01.
تصاميم اختبار مكنمار والتوابع المتطابقة:
يمكن أن تعمل تصاميم التوابع المتطابقة بنفس النوع من
التحليل . الخلايا في جدول التوافق في هذه
الحالة تدل على الموافقة (+) وعدم الموافقة (-) بين الدرجات الاسمية للأزواج المتطابقة.تطابقات
الموافقة وعدم الموافقة مستقلة عن بعضها البعض.
b
|
a
|
d
|
c
|
تصحيح
ياتس لاختبار مكنمار:
مثل
أي كاي تربيع ( 2×2) فان اختبار مكنمار ربما يعدل للاستمرارية عند التعامل بمدخلات
خلية صغيرة , بدرجة حرية واحد ( كحالة كاي تربيع (2×2) ) وتصبح معادلة مكنمار:
تذكر أن الخطوط
العمودية في هذه المعادلة تشير إلى أن قيمة الفرق بين a و d لا تهتم بالإشارة.
نطرح واحد من القيمة المطلقة للفرق بين a و d , تربع قيمة النتائج , وثم تقسم على مجموع a و d .
الارتباط والبيانات الاسمية: معامل التوافق:
هناك تنوع في الاختبارات الاسمية للارتباط , لكن أكثر
الباحثين الاجتماعيين يستخدمون معامل التوافق يرمز ب c , انه
اختبار متعدد الجوانب والذي يمكن أن يستخدم مع أي حجم لجدول التوافق : 2×2,2×3 ,
4×4, أو أي كان, وهكذا تحسب c بطريقة سهلة عندما تعرف قيمة
كاي تربيع وتستخدم هذه المعادلة :
أخيرا, يسهل فحص دلالة
c لو كاي تربيع المحسوبة ذو
دلالة , وأيضا القيمة الناتجة من c (من الجدول الملحق ).
مثال: افترض هناك ارتباط ذو دلالة بين الأطفال الذكور
الذين يشاهدون العنف في أفلام التلفاز وبين العدوان الحقيقي العلني عند جزء من المشاهدين.
فحددت عينة من 100 من الصف الخامس واختيروا الأطفال الذكور من مدرسة محددة وسئل الأطفال
لتحديد تفضيلا تهم لعروض التلفاز, ثم يزور الملاحظون الأطفال في العطلة ويسجلوا
ملاحظاتهم لكل طفل بحيث تظهر أعمالهم العدوانية. سجل 50 طفل ممن يفضلوا أفلام
العنف من 65 عدوانهم بشكل علني وسجل 10 أطفال لا يفضلوا أفلام العنف من 35 عدوانهم
بكل علني:
b
15
|
a
50
|
d
25
|
c
10
|
ونحسب قيمة كاي تربيع:
a b c d
|
|||||
X = 22.162
|
25
|
10
|
15
|
50
|
Fo
|
14
|
21
|
26
|
39
|
Fe
|
|
11
|
-11
|
-11
|
11
|
Fo-Fe
|
|
121
|
121
|
121
|
121
|
(Fo-Fe)
|
|
8.643
|
5.762
|
4.654
|
3.103
|
(Fo-Fe)/Fe
|
|
نقارن القيمة المحسوبة بالقيمة الحرجة الجدولية من
الجدول الملحق:
نرفض الفرضية الصفرية ونكتبها كالتالي:
Reject Ho: significant at p > 0.01.
وعندما تكون قيمة كاي تربيع ذو دلالة فيمكن أن نستخدم
معادلة C لا يهم على أي قيمة نحصل عليها ل C ويجب أن
تكون ذو دلالة:
Reject Ho :significant at p < 0.01.
على أي حال هناك ارتباط دال بين مراقبة أفلام العنف
والعدوان العلني في المشاهدين الذكور.
يجب أن توضع استنتاجاتنا كالتالي:
قيمة كاي تربيع (2×2) المحسوبة تقارن بتكرار أعمال
العدوان بين الأطفال ممن فضلوا مراقبة العنف أو لم يراقبوا. ووجدت كاي تربيع ذو
دلالة:
Chi square (1) = 22.162 ,p< 0.01.
ثم تستخدم كاي تربيع لاختبار الارتباط و C ( معامل
التوافق) ووجدت أنها تساوي 0.425
وهذا مثال على الارتباطية ( post-facto research) . لا استنتاجات بالنسبة إلى السبب المسموح به من نتائج هذه
الدراسة .ربما مراقبة العنف في التلفاز يؤدي إلى سلوك عدواني أو ربما السلوك
العدواني يؤدي إلى حضور أفلام عنف .
أخيرا قد يكون هناك ثلاث عوامل: المتغير X والذي يسبب في كل من العدوان
العلني وتفضيلهم لحضور الأفلام.
قيود ومحددات معامل التوافق: الارتباط الناتج من 0.425
في المثال السابق قد يبدو إلى حد ما منخفض خصوصا وبشكل واضح هناك فروق فنية ( دراماتيكية)
بين مجموعتين من المشاهدين للتلفاز . قيمة C ( معامل التوافق) كانت منخفضة وأكثر
انخفاضا من ارتباط بيرسون (r) ويمكننا الحصول على مقاييس
فئوية للأشخاص , في الواقع أن ارتباط C المحسوب لكاي تربيع يمكن فقط أن
يصل في أفضل حالة للقيمة 0.87 وليس 1.00 . لأنها طريقة لا معلميه لتحديد الارتباط
,اختبار C ( معامل التوافق) اقل قدرة من الاختبارات المعلمية , (r) . كل
الاختبارات اللامعلمية تهمل درجة الفروق والارتباطات واختبار معامل التوافق C ليس استثناء
.أعلى القيم الممكن تحقيقها لمعامل التوافق Cيحدد بعدد الخلايا في جدول التوافق انظر الجدول(6)
التالي:
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
Number of cells
|
0.94
|
0.93
|
0.91
|
0.89
|
0.87
|
Maximum value of c
|
مع كاي تربيع ( 2×2) ( الخلايا الأربعة) أعلى قيمة
لمعامل التوافق C هو 0.87 . على أي حال معامل
التوافق المحسوب مسبقا 0.425 تعكس قوة الانتماء أكثر ربما من الذي ظهر في البداية.
حجم التأثير: ( effect size)
هناك مقياس واحد في كاي تربيع لحجم التأثير يستند على
معامل التوافق وهو كمقياس الارتباط ممكن أن يفسر كحجم تأثير . وهكذا إذا كانت قيمة
كاي تربيع 22.162 كما كانت في المثال السابق . ممكن أن يكون حجم التأثير لقيمة
معامل التوافق C هو 0.425 , إلى
حد ما تأثير قوي . قيم C من 0.10, 0.25, و 0.40 يمكن أن
نقول أن حجم تأثيرها صغير , متوسطة, كبير
على التوالي.
مثال: اهتم الباحثون باكتشاف فيما إذا برامج المعاملة
السيئة في السجن لها تأثير حقيقي على الانتكاسة ( الانتكاسية) فاختير 200 رجل
وحددت عشوائيا ( تعامل أو لا تعامل) وصنف الرجال حسب ذلك إلى رجال طبقت عليهم
المعاملة السيئة وأخرى لا.
وبعد إطلاقهم فحص الرجال لإيجاد فيما إذا سجنوا مرة أخرى
ضمن فترة ثلاث سنوات والنتائج كالتالي:
Incarcerated again (سجنوا مرة أخرى)
|
||||
المجموع لا نعم
|
||||
X= 20.612
|
100
|
70
|
30
|
عوملوا حسب البرنامج
|
100
|
38
|
62
|
لم يعاملوا
|
|
نحسب حجم التأثير كالتالي:
Chi square = 15 ,N=50
ANS : ES or C = 0.480 ( strong effect)
Chi square = 3.84 , N=55
ANS : ES or C = 0.255 ( medium effect )
Chi square = 4.95 , N = 500
ANS : ES or C = 0.10 ( small effect )
متطلبات لاستخدام كاي تربيع:
1-
يجب اختيار العينات عشوائيا
2-
يجب أن تكون البيانات بشكل اسمي
3-
يجب أن تكون مدخلات الخلية مستقلة
4-
اقل قيمة تكرار متوقع يجب ألا تقل عن 5
ConversionConversion EmoticonEmoticon